Razpisi visokih denarnih nagrad za razrešitev zapletenih znanstvenih in tehničnih problemov danes niso več v navadi. Natečaji, na katerih komisija strokovnjakov razpiše nagrade za najboljše izdelke, ki do nekega datuma prispejo na njen naslov, so danes običajna oblika iskanja rešitev denimo v arhitekturi pa tudi drugod v umetniško-tehnični sferi, manj pa v znanosti. Tu in tam kaka organizacija ali bogat posameznik še razglasi, da bo obdaroval tistega, ki razreši kak na videz povsem nerešljiv problem, a za širše financiranje znanstvenega dela takšne nagrade danes niso pomembne. Nekoč pa je bilo drugače.

Švedski matematik Gösta Mittag-Leffler je pred nekaj več kot sto leti prepričal švedskega kralja Oskarja II., naj ob svoji šestdesetletnici priredi matematično tekmovanje. Ker je tudi sam kralj študiral matematiko, ga za idejo ni bilo težko navdušiti, še posebno, ker je Mittag-Leffler v komisijo, ki naj bi zastavila probleme in ocenjevala prispele rešitve, pridobil dva zelo ugledna evropska matematika. Povabilu sta se odzvala Karl Weierstrass iz Berlina in Charles Hermite iz Pariza.

Je sončni sistem stabilen?

Razpisali so štiri naloge, ki so se dotikale ključnih problemov takrat aktualnih matematičnih raziskav. Čeprav je bila kraljeva obletnica šele leta 1889, so priprave začeli že leta 1884, tako da so imeli učenjaki iz vse Evrope dovolj časa, da se poglobijo v probleme in najdejo rešitve. Sredi leta 1885 so v reviji Nature natisnili razglas, v katerem so znanstvenike pozvali, naj sodelujejo na matematičnem tekmovanju v čast šestdesetletnici kralja Oskarja II. Zadnji datum, do katerega so morale rešitve prispeti na švedski dvor v roke predsedniku komisije Gösti Mittag-Lefflerju, je bil 1. junij 1888. Esej, v katerem je posamezen avtor opisal svojo rešitev, seveda ni smel biti podpisan, da bi bilo vrednotenje rešitev karseda nepristransko. Vsakdo je moral tako svoji rešitvi priložiti tudi zapečateno kuverto, v kateri je bilo zapisano njegovo ime.

Prvo od štirih vprašanj, ki so bila zastavljena v formalnem matematičnem jeziku, se je nanašalo na problem gibanja treh teles. Povedano drugače, zanimalo jih je vprašanje stabilnosti sončnega sistema. Bolj kot samo vprašanje in odgovori nanj pa je danes, več kot sto let po dogodku, zanimivo dogajanje, do katerega je prišlo nekaj mesecev po razglasitvi zmagovalca. Ko so zmagovalno rešitev pripravljali za objavo, je urednik po naključju opazil, da je komisija nagradila delo, ki ni povsem brez napak. Ena izmed napak se je izkazala celo za ključno.

Zmagovalec ni presenečenje

Zmagovalec tekmovanja ni bil nihče drug kot veliki francoski matematik Henri Poincaré, ki je bil takrat sicer res še dokaj mlad, a je užival že zelo velik ugled. V obdobju od razpisa nagrade do roka za oddajo so ga celo izvolili za člana Francoske akademije znanosti, kar je bila pri njegovih dvaintridesetih letih velika čast.

Osrednji pomen nagrade ni bil v denarju, saj znesek nikakor ni dosegal višine današnje Nobelove nagrade. Zmagovalec je dobil 2500 švedskih kron, kar je bila približno tretjina letne profesorske plače. Nagrada je mlademu matematiku sicer bistveno olajšala znanstveno kariero in mu omogočila pridobitev dobrega položaja na kateri od uglednih univerz, obogatel pa zaradi nje vsekakor ni. Kot bomo videli, je bil zaradi nagrade prvonagrajeni Poincaré celo v izgubi.

Čeprav naj bi bili vsi prispeli eseji anonimni, je Poincaré svoji dolgi rešitvi prvega problema, ki je imela kar 158 strani, priložil še kratko spremno pismo, ki ga je tudi podpisal. Komisija je tako že med ocenjevanjem natančno vedela, kdo je avtor rešitve, ki jo je na koncu tudi soglasno izbrala za najboljšo. Nagrajenca so razglasili v okviru praznovanja kraljevega rojstnega dne 21. januarja 1889. Del nagrade je bila tudi objava rešitve v ugledni matematični reviji Acta mathematica.

In prav tu se je zapletlo. Ko je urednik revije Edvard Phragmén julija 1889 pripravljal Poincaréjev članek za objavo, je opazil nekaj manjših napak v rokopisu. O tem je obvestil Mittag-Lefflerja, ta pa je 16. julija v pismu seznanil Poincaréja, da lahko vse napake z izjemo ene nemudoma popravijo. Preostala napaka namreč ni bila ne tipkarska in tudi ne manjša matematična napaka v izpeljavi, temveč se je izkazala za bistveno. Poincaré je, kot se je kmalu izkazalo, v svojem dokazu spregledal nekaj ključnega, kar so vsi skupaj ugotovili šele, ko je bila nagrada že podeljena in članek skorajda že v tisku.

Kako se izogniti škandalu?

Kaj storiti? Če bi se razvedelo, da so nagradili napačno rešitev, bi bil porušen ugled tako kralja kot tudi vseh vrhunskih matematikov, ki so sodelovali pri ocenjevanju, še posebej pa bi bila takšna sramota v škodo Poincaréju, ki je takrat blestel kot nova zvezda na evropskem znanstvenem nebu.

Poincaré se je zakopal v delo, da bi razrešil težavo, a bolj ko je študiral problem, bolj se je kazalo, da nikakor ne gre za majhno napako, ki bi se jo dalo zlahka razrešiti. Sprva je pošiljal daljše opombe k besedilu, ki naj bi problem razjasnile, a vse bolj je bilo jasno, da zgolj z opombami težave ne bo mogel odpraviti.

Za kakšno napako je pravzaprav šlo? V svoji izvirni rešitvi je Poincaré uporabil povsem novo metodo, ki mu je bistveno olajšala delo in je v reševanju takšnih in podobnih matematičnih problemov povzročila pravo malo revolucijo. Namesto da bi računal celotne tire posameznih teles oziroma planetov, se je Poincaré osredotočil samo na določene trenutke, ko posamezni planet ali asteroid seka posebej izbrano ravnino. To je približno tako, kot če bi sončni sistem osvetlili le takrat, ko naredi opazovano telo en krog okoli Sonca. V primeru Zemlje bi bilo to enkrat na leto.

Poincaréja je tako zanimalo le, ali se planet oziroma asteroid, potem ko obkroži Sonce, vrne na isto mesto oziroma kako se te vsakoletne lege sčasoma spreminjajo. Poenostavljeno rečeno: če izbrano ravnino seka zmeraj na istem mestu, je orbita tega gibanja očitno stabilna, če pa jo vsakokrat seka nekoliko vstran, je treba to spreminjanje opisati in pogledati, ali so odmiki znotraj nekega stabilnega ravnovesja.

Kaotična zvezdna mehanika

Poincaréjeva ugotovitev, ki jo je zagovarjal tudi v svojem izvornem eseju, je bila, da je sončni sistem stabilen, vsaj v tem preprostem modelu sonca z enim večjim planetom in majhnim asteroidom, ki krožijo v isti ravnini. Njegova prvotna ugotovitev je bila, da so orbite gibanja v tem primeru stabilne. Ko se je vnovič poglobil v problem, se je izkazalo, da je pozabil upoštevati celo vrsto rešitev, ki niso stabilne, temveč vodijo v kaos.

Izkazalo se je, da je Poincaré pozabil obravnavati neko geometrijsko konfiguracijo, ki vodi do drugačnega tipa rešitev, kot jih je opisal v izvornem eseju. Za te nove rešitve, ki jih je sprva spregledal, bi danes rekli, da so kaotične. Čeprav jih natančno določajo jasne enačbe, so poti gibanja obravnavanih teles takšne, da je njihovo bodoče gibanje sicer mogoče natančno napovedati, a so te napovedi odvisne od natančnega poznavanja začetnih pogojev. Če so telesa na začetku le malo drugače razporejena, se bodo gibala povsem drugače. Iz tega je Poincaré lahko sklepal le, da niso vse oblike gibanja v poenostavljenem sistemu treh teles stabilne, tako da tudi za sončni sistem velja, da ni absolutno in za vse primere gibanja planetov in asteroidov stabilno.

V nekaj mesecih, ko je Poincaré poskušal popraviti napako, ki jo je zagrešil v izvornem članku, je postavil zametke novi veji matematike, ki se je kasneje razvila v teorijo kaosa. Sto petinosemdeset strani izvornega eseja je naraslo kar na 270. A težava je bila v tem, da so na švedskem prvotni članek že natisnili, revije pa na srečo vseh vpletenih še niso razposlali naročnikom. Da bi se izognil škandalu, je Poincaré plačal 3585 kron za ponovni natis revije, kar je bilo bistveno več od zneska nagrade. Poskrbeli so tudi za uničenje večine prvih verzij revije, nekaj izvodov pa se je kljub temu ohranilo. Leta 1985 je ameriški matematik Richard McGehee med študijskim obiskom Švedske brskal po arhivih in v neki neoznačeni škatli s pismi Göste Mittag-Lefflerja našel nekaj kopij 13. številke revije Acta mathematica. Ko jo je pregledoval, mu je hitro padlo v oči, da je Poincaréjev članek v njej drugačen, kot ga je bil vajen v drugih izvodih te iste revije.

Čeprav je dobil Poincaré nagrado za prvo verzijo članka, ki ni bila brezhibna, je prenovljeni članek, v katerem je naredil pomemben korak v znanost kaosa, z današnjega stališča bistveno bolj pomemben. Morda se sliši protislovno, a nagrado so vsekakor podelili pravi osebi, čeprav za napačno rešitev in za napačen esej.