Števila

Iz o KvarkaWiki

Tukaj je približna ilustracija kako iz naravnih, prek celih in racionalnih pridemo do realnih števil, katera so nujno potrebna za realno analizo.

Vsebina

1 Naravna števila
2 Cela števila
3 Racionalna števila
4 Aksiomi računanja
5 Realna števila
6 Povezave in literatura

Naravna števila $(\mathbb{N})$

Primeri: $1,2,3,4,5,6,...$

Naravna števila definiramo z Peanovimi aksiomi:

1 je naravno število
Vsakemu naravnemu številu n sledi natančno določeno naravno število n+1 (torej, n+1 je naslednik n)
Iz n≠m sledi (n+1)≠(m+1)
Število 1 ni naslednik nobenega naravnega števila
Vsaka množica naravnih števil, ki vsebuje 1 in je v njej s številom n vedno tudi (n+1) vsebuje vsa naravna števila

Zadnji aksiom je zelo pomemben, saj iz njega sledi metoda imenovana popolna (matematična) indukcija.

Naravna števila so zaprta množica za seštevanje in množenje, ne pa tudi za odštevanje in deljenje.

Naravna števila nato vložimo v cela.

Cela števila $(\mathbb{Z})$

Primeri: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Cela števila so, tako kot naravna, zaprta za seštevanje in množenje, ter tudi za odštevanje.

Cela števila nato vložimo v racionalna števila.

Racionalna števila $(\mathbb{Q})$

Primeri: $\frac{2}{4}, \frac{5}{8}, 1, 0, ...$

Splošneje: $\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}; a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{Z}/0\}$

Hitro ugotovimo, da so racionalna števila zaprta za seštevanje, odštevanje, množenje, ter celo deljenje, vendar moramo pri slednjemu paziti, da ne delimo z 0.

Aksiomi računanja

Na sledečih aksiomih slonijo vse računske operacije za racionalna števila.

Aksiomi seštevanja:

$(a + b) + c = a + (b + c)$
$a + b = b + a$
$a + 0 = a$
$a + ( - a) = 0$

Prvi aksiom govori o asociativnosti seštevanja, drugi govori o komutativnosti seštevanja, tretji govori o obsotoju enote za seštevanje (0), četrti pa govori o nasprotnem elementu (inverzu).

Aksiomi množenja:

$(a \cdot b)\cdot c=a \cdot (b \cdot c)$
$a \cdot b=b \cdot a$
$a \cdot 1=a$
$a \cdot a^{-1} = 1$

Tako kot pri aksiomih za seštevanje govori prvi o asociativnosti množenja, drugi o komutativnosti, tretji o obstoju enote (1), ter četrti o obstoju nasprotnega elementa.

Dodatni aksiomi:

$1 \ne 0$
$( a + b ) \cdot c= (a \cdot c) + (b \cdot c)$

Naj se prvi sliši še tako smešen, pa vendar je pomemben. Pravi nam da enoti nista enaki. Drugi pa pravi da sta seštevanje in množenje distributivna med seboj.

Množica števil, za katero velja teh deset aksiomov imenujemo obseg. Od zgoraj naštetih je samo racionalna množica števil obseg.

Aksiomi o urejenosti števil:

Če je a≠0, je natanko eno od števil a ali -a pozitivno. Število 0 ni ne pozitivno ne negativno.
Vsota (a+b) in produkt (a×b) pozitivnih števil a in b je vselej pozitivno število.

Ti aksiomi nam govorijo o urejenosti števil med seboj. Dodajmo še en precej uporaben izrek:

Naj bosta a in b poljubni racionalni števili. Potem je a > b, če je razlika a-b pozitivna.Obratno seveda, če je razlika negativna je b > a.

Množico števil, za katere veljajo vsi našteti aksiomi imenujemo urejen obseg števil.

Realna števila $(\mathbb{R})$

Pri racionalnih številih se zalomi, kadar naletimo na enačbe kot je $x 2 - 2 = 0$ . Ker take enačbe nimajo rešitev v okviru racionalnih števil uvedemo novo množico - množico realnih števil. Najprej pa povejmo še nekaj o zgornjih (spodnjih) mejah. Predstavljajmo si števila na številski premici. Potem veljata naslednja izreka (omejili se bomo na zgornjo mejo, za spodnjo definiramo analogno):

Množica števil M je navzgor omejena, če obstaja število a, tako da je x manjši ali enak a-ju, za vsak x iz množice M. Tako definiran a imenujemo zgornja meja množice M (takih a-jev je neskončno mnogo)
Naj bo M navzgor omejena. Najmanjši a (če obstaja), od vseh zgornjih mej a, imenujemo natančna zgornja meja M (supremum M, oznaka sup M). Torej, sup M mora zadoščati naslednjima dvema pogojema:
- x je manjši ali enak sup M, za vsak x iz množice M
- nek c, ki je manjši od sup M ni več zgornja meja M, torej obstaja nek y iz množice M, tako da velja c je manjši od y

S temi izreki definiramo pojem natančne zgornje meje, ki nam pride prav pri razlikovanju med racionalnimi števili in realnimi, saj nima vsako racionalno število natančne zgornje meje (primer: $\sqrt{2}, \sqrt{5}, \pi,...$ ). Z naslednjim aksiomom, ki ga imenujemo tudi Dedekinov aksiom, pa natančno definiramo to razliko:

Dedekinov aksiom: Vsaka neprazna navzgor omejena množica ima natančno zgornjo mejo (analogno za spodnjo mejo)

Temu aksiomu zadoščajo samo realna in kompleksna števila.

To pa celotna izpeljava realnih števil iz racionalnih, katera je dolga, najdete pa jo lahko v knjigi W. Rudin: Principles of mathematical analysis.

Še nekaj zanimivih posledic Dedekinovega aksioma:

Množica celih števil $\mathbb{Z}$ ni nazgor omejena
Za vsak a iz realnih števil obstaja število b iz celih števil, tako da velja b > a
Naj bosta a in b iz realnih števil poljubni pozitivni števili, tako da je b > a. Obstaja tak n iz naravnih števil, da velja b < n×a (Arhimedova lastnost)
Naj bo a poljubno majhno realno pozitivno število. Potem obstaja tak n iz naravnih števil, da velja $\frac{1}{n}<a$

Števila

Iz o KvarkaWiki

Vsebina

Naravna števila $(\mathbb{N})$

Cela števila $(\mathbb{Z})$

Racionalna števila $(\mathbb{Q})$

Aksiomi računanja

Realna števila $(\mathbb{R})$

Povezave in literatura

Pogled

Osebna orodja

Navigacija

Iskanje

Pripomočki