Definicija in lastnosti nedoločenega integrala

Iz o KvarkaWiki

Skoči na: navigacija, iskanje

[spremeni] Definicija

Vsako funkcijo F(x), katere odvod je f(x), oziroma diferencial f(x)dx imenujemo primitivna funkcija funkcije f(x) ali nedoločeni integal funkcije f(x). Vsaka zvezna funkcija ima primitivno funkcijo.

Primitivne funkcije se lahko razlikujejo za konstanto. Saj je odvod konstante 0. Zato pišemo splošen nedoločeni integral funkcije f(x) z aditivno konstanto:

\int f(x)\; dx=F(x)+C

Kjer je F(x) poljubna primitivna funkcija funkcije f(x) .

[spremeni] Zgled

Izračunajmo nedoločeni integral funkcije f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.

Upoštevajmo definicijo. Ta pravi, da je nedoločeni integral funkcija F(x), katere odvod je funkcija f(x). Iz diferencialnega računa pa se spomnimo, da je

(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}}

Torej je

\int \frac{1}{1+x^{2}}\; dx=\arctan x + C

Tako lahko nadaljujemo in si sestavimo priročno tabelo integralov: Tabela elementarnih integralov.

[spremeni] Lastnosti

  • Integral vsote (razlike) je vsota (razlika) integralov

\int (f(x)\pm g(x))\; dx=\int f(x)\; dx \pm \int g(x)\; dx

  • Konstantne faktorje smemo prestaviti pred integralski znak.

\int a\cdot f(x)\; x=a\int f(x)\; dx

  • Uvedba nove spremenljivke (substitucija).

Naj bo dan integral v tej obliki

\int f(g(x))g'(x)\; dx

Za funkcijo g vzemimo novo spremenljivko, recimo u. Njen diferencial je du = g'dx. Nadomestimo g z u in g'(x)dx z du. Dobimo

\int f(u)\; du

V integral smo uvedli novo spremenljikvo u. Integral moremo s pravo substitucijo lažje integrirati.

  • Integracija po delih (integracija per partes).

Integrirajmo formulo za odvod produkta funkcij u(x) in v(x).

\int (uv)'\; dx=\int (u'v)\; dx+\int (uv')\; dx

Z upoštevanjem, da je v'dx = dv in u'dx = du, dobimo formulo za integracijo po delih

\int u\; dv=uv-\int v\; du

Vzpostavljeno iz »http://www.kvarkadabra.net/wiki/index.php/Definicija_in_lastnosti_nedolo%C4%8Denega_integrala«
Osebna orodja