Dodatek A - Vektorske identitete

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V identitetah je privzeto, da so \vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D} diferenciabilne vektorske funkcije in f1, f2, f3 diferenciabilne skalarne funkcije.

  1. \vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{A}) = \vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})
  2. \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})
  3. (\vec{A} \times \vec{B}) \cdot (\vec{C} \times \vec{D}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})(\vec{B} \cdot \vec{D}) - (\vec{A} \cdot \vec{D})(\vec{B} \cdot \vec{C})
  4. \vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) + \vec{B} \times (\vec{C} \times \vec{A}) + \vec{C} \times (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{0}
  5. (\vec{A} \times \vec{B}) \times (\vec{C} \times \vec{D}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot (\vec{C} \times \vec{D})) - \vec{A}(\vec{B} \cdot (\vec{C} \times \vec{D})) = \vec{C}(\vec{D} \cdot (\vec{A} \times \vec{B})) - \vec{D}(\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}))
  6. (\vec{A} \times \vec{B}) \cdot ((\vec{B} \times \vec{C}) \times (\vec{C} \times \vec{A}))=(\vec{A} \cdot (\vec{B} \times \vec{C}))^2
  7. \nabla (f_1 + f_2) = \nabla f_1 + \nabla f_2
  8. \nabla \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = \nabla \cdot \vec{A} + \nabla \cdot \vec{B}
  9. \nabla \times (\vec{A} + \vec{B}) = \nabla \times \vec{A} + \nabla \times \vec{B}
  10. \nabla (f \vec{A}) = (\nabla f) \cdot \vec{A} + f \nabla \cdot \vec{A}
  11. \nabla (f_1 f_2) = f_1 \nabla f_2+ f_2 \nabla f_1
  12. \nabla \times (f \vec{A}) = (\nabla f) \times \vec{A} + f (\nabla \times \vec{A})
  13. \nabla \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = \vec{B} \cdot (\nabla \times \vec{A}) - \vec{A} \cdot (\nabla \times \vec{B})
  14. (\vec{A} \cdot \nabla) \vec{A} = \nabla (\frac{\mid \vec{A} \mid ^2}{2}) - \vec{A} \times (\nabla \times \vec{A})
  15. \nabla (\vec{A} \cdot \vec{B}) = (\vec{B} \cdot \nabla) \vec{A} + (\vec{A} \cdot \nabla) \vec{B} + \vec{B} \times (\nabla \times \vec{A}) + \vec{A} \times (\nabla \times \vec{B})
  16. \nabla \times (\vec{A} \times \vec{B}) = (\vec{B} \cdot \nabla) \vec{A} - \vec{B} (\nabla \cdot \vec{A}) - (\vec{A} \cdot \nabla) \vec{B} + \vec{A} (\nabla \cdot \vec{B})
  17. \nabla \cdot (\nabla f) = \nabla ^2 f
  18. \nabla \times (\nabla f) = \vec{0}
  19. \nabla \cdot (\nabla \times \vec{A}) = 0
  20. \nabla \times (\nabla \times \vec{A}) = \nabla (\nabla \cdot \vec{A}) - \nabla ^2 \vec{A}
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