Ravninska trigonometrija

Iz o KvarkaWiki

Trigonometrija (gr. trigonmetros, trigon - tri, metros - mera) je veda o kotih, trikotnikih in o trigonometričnih funkcijah, kot so na primer sinus, kosinus in tangens.

Vsebina 1 O trigonometriji 2 Trigonometrične funkcije 2.1 Sinus 2.2 Kosinus 2.3 Tangens in kotangens 3 Sinusni in kosinusni izrek 4 Adicijski izreki

[spremeni] O trigonometriji

Dva trikotnika sta podobna natanko takrat, ko imata enake kote (torej, dva enaka kota, potem sledi, da je tretji tudi enak). Da sta podobna pomeni, da sta iste oblike, le dolžine stranic so v razmerju spremenjene. Iz tega lahko izpeljemo ven marsikaj zanimivega, naprimer na pravokotnih trikotnikih trigonometrične funkcije.

[spremeni] Trigonometrične funkcije

Ker je vsota vseh notranjih kotov 180° in je pri pravokotnih trikotnikih en kot zagotovo 90°, sledi, da je vsota ostalih dveh kotov 90°, torej je pravi kot zagotovo največji kot. Iz tega sledi, da je stranica, ki mu leži nasproti zagotovo najdaljša. Imenujemo jo hipotenuza. Dva pravokotna trikotnika, ki si delita še nek isti kot, poleg pravega, sta nujno podobna, torej bo razmerje med kotom in nasprotno stranico vedno konstantno. Razmerje med kotom in nasprotno stranico imenujemo sinus. Podobno lahko sklepamo za priležno stranico kota, to razmerje pa imenujemo kosinus. Ti dve trigonometrični funkciji sta poglavitni, saj lahko ostale iz njih izpeljemo.

[spremeni] Sinus

Sinus kota definiramo takole:

kjer nas pomeni nasprotno stranico kotu α, medtem ko hip pomeni hipotenuzo.

[spremeni] Kosinus

[spremeni] Tangens in kotangens

[spremeni] Sinusni in kosinusni izrek

[spremeni] Adicijski izreki

sinus vsote kotov:
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

sinus razlike kotov:
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ

kosinus vsote kotov:
cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ

kosinus razlike kotov:
 cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ