Zaporedja

Iz o KvarkaWiki

Številsko zaporedje je preslikava iz množice naravnih števil v realna ali kompleksna. Zaporedje je določeno s pravilom, po katerem pripada vsakemu naravnemu številu neko realno oziroma kompleksno število. Običajno ga označimo z a_n, kjer je n indeks člena.

Vsebina 1 Omejenost 2 Stekališče 3 Monotonost 4 Konvergenca 5 Primeri

[spremeni] Omejenost

Zaporedje je lahko navzgor, navzdol, ali na obe strani omejeno, ter neomejeno. Če je neomejeno ga imenujemo divergentno.

Če je navzgor omejeno, potem ima seveda natančno zgornjo mejo, sup(a_n) = M. Od tod sklepamo, da je a_n ≤ M, za vsak indeks n, neenačba a_n ≥ M - ε, za poljubno majhen pozitiven ε pa velja, za vsaj nek pozen indeks n₀. Torej so vsi členi, od člena a_n0 zelo blizu M - teh je pa neskončno. Analogno pokažemo posledice za natančno spodnjo mejo. To nas vodi do naslednjega pojma.

[spremeni] Stekališče

Neko število a imenujemo stekališče zaporedja a_n, če leži v vsaki, poljubno majhni, okolici ε neskončno mnogo členov zaporedja. Vendar zadošča že, da v vsaki okolici ε zaporedja a_n leži vsaj en, od a različen, člen zaporedja.

Formalno potem to zapišemo na sledeč način:

Velja tudi, da vsako na obe strani omejeno zaporedje ima vsaj eno stekališče.

a_n ima lahko več stekališč. Za taka zaporedja je značilno, da ostane zunaj okolice stekališča ε še vedno neskončno mnogo členov.

[spremeni] Monotonost

Če zaporedje stalno raste ali pada, pravimo da je monotono. Torej je pri monotono naraščajočih zaporedjih naslednji člen večji ali enak, kot prejšnji, pri monotono padajočih pa je manjši ali enak. Formalen zapis za monotono naraščajoče zaporedje je naslednji (za monotono padajoče je analogen - torej neenačaj je obrnjen):

oziroma

Če se v monotonem zaporedju členi nikoli ne ponavljajo, potem pravimo da je strogo monotono. Formalen zapis za strogo monotono naraščajoče zaporedje je naslednji:

oziroma

[spremeni] Konvergenca

Zaporedje a_n konvergira proti vrednosti a, če ležijo v okolici števila a vsi členi zaporedja, od nekega indeksa n₀ dalje. a imenujemo limita zaporedja. V matematičnem jeziku se pravi:

Definicija je podobna oni iz stekališča in limita tudi je stekališče, vendar je treba biti pozoren, saj tukaj gredo vsi členi zaporedja proti a. Tako da obratno ni nujno res, le če je zaporedje na obe strani omejeno in ima samo eno stekališče.

Če pa ne poznamo limite, a nas vseeno zanima ali je zaporedje konvergentno lahko to preverimo s pomočjo Cauchy-jevega pogoja. Zaporedje a_n je konvegentno natanko tedaj, ko lahko najdemo tak pozen člen n₀, da za vsak n ≥ n₀ velja, da je razlika med tem členom in vsakim nadaljnim poljubno ("ε") majhna. Torej:

Velja pa tudi da vsako naraščajoče (padajoče) zaporedje, ki je omejeno, je konvergentno. Njegova limita je natanko supremum (infimum).

Konvergentno zaporedje ostane konvergentno, tudi če mu dodamo poljubno končno število členov. Limita je enaka prvotni. Če imamo dva zaporedja a_n in b_n, ter sta njuni limiti a in b, potem velja da če ju členoma seštevamo, odštevamo, množimo ali delimo (paziti moramo da ni kdaj imenovalec nič!), potem so tudi limite vsote, razlike, produkti ali kvocienti prvotnih limit.

[spremeni] Primeri

Opazimo lahko, da je največji člen 1, nato zaporedje monotono pada in je omejeno z 0. Torej je konvergentno in njegova limita je 0.